Hướng dẫn giải 2 dạng toán cực trị của hàm số thường gặp

04 Tháng 01, 2020

Trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài tập về đồ thị – hàm số luôn chiếm số lượng câu hỏi lớn với khoảng từ 5 cho đến 7 câu. Trong đó, ngoài những câu hỏi cơ bản thì các em cần đặc biệt lư ý đến các câu liên quan đến cực trị của hàm số.

Dưới đây là 2 trong số những dạng bài thường gặp nhất liên quan đến phần cực trị. Đó là dạng câu hỏi Xác định điểm cực trị và Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu đề bài

Contents

1 1, Dạng toán cực trị của hàm số thứ nhất: Xác định điểm cực trị của hàm số
2 2, Dạng toán cực trị của hàm số thứ hai: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu đề bài

1, Dạng toán cực trị của hàm số thứ nhất: Xác định điểm cực trị của hàm số

Hướng dẫn giải 2 dạng toán cực trị của hàm số thường gặp-1

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm đạo hàm f’(x) của hàm số f(x)

Bước 2: Sau khi tìm đạo hàm, ta có 2 cách

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số dựa vào đạo hàm, từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số

Cách 2: Lập bảng xét dấu của f’(x), từ đó xác định được điểm cực trị của hàm số

bài tập tìm cực trị của hàm số câu 1: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x3 – 3x + 2

A, 1 B, -1 C, 0 D, 4

Hướng dẫn giải: Tập xác định của hàm số là: D = R

Ta có y’ = 3x² -3 = 0 ó x = 1 hoặc x = – 1

Nếu x =1 thì y = 4

Nếu x = -1 thì y = 0

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

-∞ -1 1 + ∞

f’(x)

+ 0 – 0 +

f(x)

4 + ∞

-∞

Dựa vào bảng biến thiên, điểm cực đại của hàm số là x = -1

Chọn đáp án B

Cách 2: Xét dấu của f’(x_o) với x_o là nghiệm của phương trình f’(x) = 0

Ta có: y’ = 3x² – 3 = 0 ó x = -1 hoặc x = 1.

Nếu x = -1 thì y = 4

Nếu x = 1 thì y = 0

Ta có y’’ = 6x. Vì y’’(1) = 6 > 0 => x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số và y’’(-1) = -6 < 0 => x = -1 là điểm cực đại của hàm số

cực trị của hàm số Câu 2: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x³ – 3x² + 2

A, 0 B, 2 C, -4 D, 1

Hướng dẫn giải: TXĐ D = R

Ta có: y’ = 3x² – 6x = 0 ó x = 0 hoặc x = 2

Nếu x = 0 thì y = 2

Nếu x = 2 thì y = – 2

Cách 1: Lập bảng biến thiên

-∞ 0 2 + ∞

f’(x)

+ 0 – 0 +

f(x)

2 + ∞

-4

-∞

Dựa vào bảng biến thiên, điểm cực tiểu của hàm số là x = 2 => Chọn đáp án B

Cách 2: Xét dấu f’’(x_o) với x_o là nghiệm phương trình f’(x) = 0

Ta có y’ = 3x² – 6x = 0 ó x = 2 hoặc x = 0

Nếu x = 2 thì y = – 2

Nếu x = 0 thì y = 2

Ta có y’’ = 6x – 6. Vì y’’(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số và y’’(0) = -6 < 0 nên ta có x = 0 là điểm cực đại của hàm số

cực trị của hàm số Câu 3: Tìm cực đại (giá trị cực đại) y của hàm số y = -x3 + 3x – 4

A, y(CĐ) = 1 B, y(CĐ) = – 1 C, y(CĐ) = – 2 D, y(CĐ) = – 6

Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R

Ta có y’ = -3×2 + 3 = 0 <=> x = -1 hoặc x = 1.

Nếu x = -1 thì y = – 6

Nếu x = 1 thì y = -2

Cách 1: Lập bảng biến thiên

-∞ -1 1 +∞

f’(x)

– 0 + 0 –

f(x)

+∞

-2

– 6

-∞

Dựa vào bảng biến thiên, cực đại của hàm số là y(CĐ) = – 2 => Chọn đáp án C

Cách 2: Xét dấu f’’(x_o) với là nghiệm của phương trình f’(x) = 0

Ta có: y’ = – 3x²+ 3 = 0 <=> x = – 1 hoặc x = 1

Nếu x = -1 thì y = -6

Nếu x = 1 thì y = -2

Ta có y’’ = -6c

Ta có y’’(1) = -6 < 0 => x = 1 là điểm cực đại của hàm số, suy ra y (CĐ) = y (1) = -2 và y’’ (-1) = 6 > 0 => x = 01 là điểm cực tiểu của hàm số, suy ra Y(CT) = y(-1) = -6

cực trị của hàm số Câu 4: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x4 – 2×2 + 2

A, 1 B, -1 C, 0 D, 2

Hướng dẫn giải: TXĐ: D = R

Ta có: y’ = 4x³ – 4x = 0 <=> x = -1, x = 0 hoặc x = 1

Nếu x = -1 thì y = 1

Nếu x = 0 thì y = 2

Nếu x = 1 thì y = 1

Cách 1: Lập bảng biến thiên

-∞ -1 0 1 +∞

f’(x)

– 0 + 0 – 0 +

f(x)

+ ∞ + ∞

1 1

Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số x(CĐ) = 0 -> Chọn đáp án C

Cách 2: Xét dấu f’(xo) với (xo) là nghiệm của phương trình f’(x) = 0

Ta có: y’ = 4 x³ – 4x = 0 <=> x = -1, x = 0 hoặc x = 1

Nếu x = -1 thì y = 1

Nếu x = 0 thì y = 2

Nếu x = 1 thì y = 1

Ta có y” = 12 x² – 4

Ta có y’’(-1) = 8; y’’(1) = 8 > 0; y’’(0) = – 4 < 0

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y(CĐ) = y (0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, x = 1 và y(CT) = y (-1) = y(1) = 1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y (CĐ) = y (0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1, x = 1 và y(CT) = y(-1) và y (1)

2, Dạng toán cực trị của hàm số thứ hai: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu đề bài

Hướng dẫn giải 2 dạng toán cực trị của hàm số thường gặp-2

Ví dụ mẫu: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3x² + mx đạt cực đại tại x = 1

A, {3} B, Tập rỗng C, {1} D, {1; 3}

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D = R

Ta có y’ = 3x² – 6x + m. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 => f’(1) = 0 <=>m = 3

+) Kiểm tra lại: Với m = 3: f’(x) = 3x²– 6x + 3 = 3 (x-1) ² ≥ 0 => f(x) không có cực trị => chọn đáp án B

Tóm tắt lý thuyết cực trị của hàm số

Phương pháp: Xét các hàm số f(x) có đạo hàm trên tập xác định của nó

+) kết quả 1: f(x) có n (n ∈ N*) điểm cực trị khi và chỉ khi f’(x) = 0 có n nghiệm và f’(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó

+) kết quả 2: tính chất của các điểm cực trị của hàm số được xử lí thông qua tính chất nghiệm của phương trình f’(x) (khi đã thỏa mãn điều kiện có cực trị tương ứng)

+) kết quả 3: f(x) đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tại x_othì f’(x_o) = 0. Đây là chiều suy ra, nên khi thực hiện yêu cầu cụ thể là cực đại hay cực tiểu thì học sinh tiến hành kiểm tra lại các trường hợp của tham số (bằng dấu hiệu 1 hay dấu hiệu 2) để đưa ra kết luận

Hướng dẫn giải 2 dạng toán cực trị của hàm số thường gặp-3